การหาผลบวกของจำนวนจนับที่เรียงกัน เป็นเลขคู่หรือเลขคี่

การหาผลบวกของจำนวนจนับที่เรียงกัน เป็นเลขคู่หรือเลขคี่
กรณี นี้ นิยมนำไปออกข้อสอบแต่โจทย์จะเป็นลักษณะการให้ตีความ นะครับ  เราก็ต้องมาทำความเข้า ใจ ว่า
เลขคู่คือก็คือ 2,4,6,8,10,12,14....
เลขที่ก็คือก 1,3,5,7,9,11,13,15...
สูตรที่นำมาใช้ก็คือ

และ

เมื่อ a₁ คือ สมาชิกตัวแรกของลำดับ

  a_n คือ สมาชิกตัวสุดท้ายของลำดับ

d คือผลต่างร่วม หาได้จากสมาชิกตัวที่สอง – สมาชิกตัวแรก (a₁-a₂)

จะสังเกตุเห็นว่า ผลต่างรวม หรือค่า ของ  d คือ 2  มาดูตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลรวมของเลขคี่ตั้ง 20 ถึง 80 เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ มาดูว่า เลขคู่่ จาก 20 ถึง 80 ที่จะหาคือตัวไหนบ้าง
จะเห็นว่า เลขทคี่ตัวแรกคือ 21  ตัวสุดท้ายคือ 79 แสดงว่า a₁ คือ  21  a_n คือ 79  d คือ 2 
จะลำดับก็จะเป็น 21,23,25...79 ,มีผลต่างรวมคือ d = 23-21 = 2 
จะได้  

n = 29+1 = 30

ลำดับมีสมาชิก 30 จำนวน 

จะได้ 

= 15x 100 = 1,500

ตอบ ผลรวมจำนวน เลขคี่จาก 20 ถึง 80 คือ 1,500

***ข้อควรจำ***

ผลต่าง หาได้จากจำนวนมากลบกับจำนวนน้อย  ***

ตัวอย่าง   จากลำดับที่ 3,4,5,6....11 ผลบวกของเลขคู่กับเลขคี่ต่างกัน เท่าไร 

เลขคี่คื 3,5,7,911 ผลรวมได้ 35

เลขคุ่คือ 4,6,8,10 ผลรวมคือ 28 

ผลต่างของเลขคุ่กับเลขคี่ ต่างกัน 35-28 = 7 

การหาผลบวกของจำวนนับที่ไม่ได้เริ่มตันจาก 1...

การหาผลบวกของจำวนนับที่ไม่ได้เริ่มตันจาก 1...
ก็จะมีวิธีทำเช่นเดียวกันกับ การผลบวกของจำนวนนับที่เริ่มต้นด้วย 1 นะครับ มาดูวิธีทำกัน
ขั้นที่ 1 สูตร

ขั้นที่ 2 สูตร 

เมื่อ a₁ คือ สมาชิกตัวแรกของลำดับ

  a_n คือ สมาชิกตัวสุดท้ายของลำดับ

d คือผลต่างร่วม หาได้จากสมาชิกตัวที่สอง – สมาชิกตัวแรก (a₁-a₂)

ตัวอย่าง 1 กรณี จำนวนนับเรียงกัน แต่ไม่ได้เริ่มจาก 1...ให้หาผลรวมของตัวเลข 23,24,25....120

วิธีทำ ขั้นที่ 1 หาจำนวนสมาชิก ในดับ (n)

สมาชิกตัวแรก a_{1 = 23}  สมาชิกตัวสุดท้าย a_n = 120

d  = a₂-a₁= 24-23 = 1

จะได้ 

  

=  97+1
= 98
แสดงว่า มีสมาชิกในลำดับ 98 จำนวน 
ขึ้นที่ 2 หาผลบวกรวม

จะได้ 

=  49 x 142 = 7,007  
ตอบ = 7,007 

ตัวอย่าง 2 จำนวนนับ ที่ไม่ได้เริ่มจาก 1 และไม่เรียงกัน จงหาผลรวมของจำนวนนับต่อไปนี้ 3,7,11,15...143

ธีทำ ขั้นที่ 1 หาจำนวนสมาชิก ในดับ (n)

สมาชิกตัวแรก a_{1 = 3}  สมาชิกตัวสุดท้าย a_n = 143

d  = a₂-a₁= 7-3 = 4

แทนค่าจะได้ 

n = 35+1 = 36

แสดงว่ามีสมาชิกจำนวน 36 จำนวน 

ขึ้นที่ 2 หาผลบวกรวม

แทนค่า จะได้ 

=  18x 146 =  2,628 

ตอบ 2,628

การหาผลบวกของจำนวนหลายจำนวนเรียงกัน

ผลบวกของจำนวนนับที่เริ่มต้นจาก 1 ถึง n 

 ให้ a₁,a₂,a₃,a₄...,a_n เป็นลำดับที่มีสมาชิก n ตัว

สูตร การคำนวณ 

และ

                                         

เมื่อ a₁ คือ สมาชิกตัวแรกของลำดับ

  a_n คือ สมาชิกตัวสุดท้ายของลำดับ

d คือผลต่างร่วม หาได้จากสมาชิกตัวที่สอง – สมาชิกตัวแรก (a₁-a₂)

 ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลรวมของตัวเลข 1,2,3,4,5...,40 

วิธีทำ ให้ หา 2 ขั้น ตอน คือ หาจำนวน สมาชิกก่อน และ ขั้นตอนที่ 2 หาผล โดยวิธีแทนค่าในสูตรเลย

การหาจำนวนสมาชิก  สูตร

เมื่อ a₁ คือ สมาชิกตัวแรกของลำดับ = 1

  a_n คือ สมาชิกตัวสุดท้ายของลำดับ = 40

d คือผลต่างร่วม หาได้จากสมาชิกตัวที่สอง – สมาชิกตัวแรก (a₁-a₂) =   2-1 = 1

= 39+1

=40

แสดงว่าจำนวนสมาชิก มีทั้งหมด 40 จำนวน

ขั้นตอนที่ 2 หาผลบวกรวมด้วยสูตร 

  

จะได้   s40

ผลก็คือตอบ 820 

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลรวมของ ตัวเลข 1,4,7,10...,88
วิธีทำ สังเกตุตัวเลขจะเพิ่มขึ้นละที่ 3
ขั้นที่ 1 หาจำนวนสมาชิกจาก สูตร

แทนค่าเข้าไปจะได้   a_n-a₁   = 88-1 = 87 

นำมาหารด้วย   d ค่า คือ a_2-a₁= 3

แสดงว่าจำนวนสมาชิกมีทั้งหมด 30 จำนวน 

ขั้นที่ 2 หาผลบวก ใช้สูตร

แทนค่าในสูตรจะได้ดังนี้ 

= 15x 89 =1,335   

คำตอบคือ 1,335 

ตัวอย่างที่ 3  จงหาผลรวมของตัวเลขจำนวน 1,3,5,7...,65

วิธีคิดแบบแทนสูตรไวๆ กันเลย 

n= 65 -1 ได้ 64 หารด้วย 2 ได้ 32 + 1 = 33

จะได้ผลรวม 1,089 

***ไปทดลองทำดูให้คล่องๆ นะครับ สำหรับจำนวนที่เริ่มต้นจาก 1  ต่อไปจะพาไปทำ การหาผลรวมของจำนวนนับที่ไม่ได้ เริ่มต้นจาก 1 รอวันถัดไปครับ 

ผลบวกของเลขหลายจำนวนเรียงกัน

 ผลบวกของเลขหลายจำนวนเรียงกัน

      1. เลขหลายจำนวนที่เริ่มต้นจาก 1

      สูตร     ผลบวก =( (ต +ป)*ป)/2

       ( ต= เทอมต้น , ป= เทอมปลาย)

     เช่น ผลบวกเลขเรียงกัน จาก 1 ถึง 25 =  ((1+25)*25)/2=325

     2.เลขหลายจำนวนที่ไม่ได้เริ่มจาก 1

       สูตร  ผลบวก =  ((ต + ป)*ท)/2 

          (ท (จำนวนเทอม)  = ปลาย-ต้น+1)

       เช่น  ผลบวกของเลของเรียงกันจาก 50 ถึง 100

              (  ท =  100-50+1=51)

               ((50+100)*ท)/2 = ((50+100)*51)/2= 3825

     

   


 3. เลขหลายจำนวนเรียงกันเฉพาะเลขคู่ หรือเลขคี่

    สูตร ผลบวก= ((ต+ป)*ท)/2

      (ท = (ปลาย-ต้น)/2)+1)

    เช่น ผลบวกเลขคู่เรียงกันจาก 10 ถึง 20 = ((10+20)*ท)/2

             ท=((20-10)/2)+1=6       ;                =((10+20)*6)/2 = 90

            ผลบวกเลขคี่เรียงกันจาก 1 ถึง 15   = ((1+15)*ท)/2

             ท= ((15-1)/2)+1 = 8      ;                = ((1+15)*8)/2 =  64

4.ผลบวกของเลขหลายจำนวนเรียงกันและจำนวนเทอมเป็นเลขคี่

        สูตร  จำนวนกลาง = ผลบวกของเลขทุกจำนวน/จำนวนเทอม

        เช่น เลข 5 จำนวนเรียงกันได้ 200 จงหาเลขทั้ง 5 จำนวน

                จำนวนกลาง = 200/5 = 40

             เลขทั้ง 5 จำนวน ก็คือ  38  39  40  41  42

5.ผลบวกของเลขหลายจำนวนเรียงกันและจำนวนเทอมเป็นเลขคู่

    สูตร  ค่าระหว่างคู่กลาง = ผลบวกของเลขทุกจำนวน/จำนวนเทอม 

      เช่น เลข  4 จำนวนเรียงกันรวมกันได้ 66 จงหาเลขทาง 4 จำนวน

             ค่าระหว่างคู่กลาง  = 66/4 = 16.50

            เลขทั้ง 4 จำนวนคือ 15  16  16.50  17  18